Streaming - Variante - Corrigé

Énoncé

Deux plateformes proposant des films en streaming se font concurrence sur le marché : Webflix et Yellow Cinema. Au 1^er janvier 2019, 63 % des utilisateurs de ces plateformes sont abonnés à Webflix et les 37 % restants à Yellow Cinema. On souhaite étudier l'évolution du marché au fil du temps. On estime que chaque mois :

• parmi les clients de Webflix, 89 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinema ;
  
• parmi les clients de Yellow Cinema, 91 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix.
  

On suppose également que le nombre total de clients reste constant.

Pour tout entier naturel  \(n\) , on note :

• \(w_n\)  la proportion de clients abonnés à Webflix  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019 ;
  
• \(y_n\)  la proportion de clients abonnés à Yellow Cinema  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019.
  

L'état probabiliste  \(n\)  mois après le 1^er janvier 2019 est noté  \(P_n=\begin{pmatrix}w_n&y_n\end{pmatrix}\) .

On a ainsi  \(P_0=\begin{pmatrix}0.63&0.37\end{pmatrix}\) .

On rappelle que, pour   tout entier naturel  \(n\) , on a  \(w_n+y_n=1\) .

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement  \(W\)  et  \(Y\)  les sommets correspondants aux plateformes Webflix et Yellow Cinema.

2. a. Donner la matrice de transition  \(T\)  de ce graphe, en considérant les sommets dans leur ordre alphabétique.
    b. Calculer l'état probabiliste  \(P_2\) .

3. Justifier qu'il existe une unique distribution invariante  \(P\)  et la calculer.

4. Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ?

D'après bac ES, Polynésie 2020

Solution

1. 

2. a.  \(T=\begin{pmatrix}0,89&0,11\\0,09&0,91\end{pmatrix}\)

    b.  \(P_2=P_0T^2=\begin{pmatrix}0,5652&0,4348\end{pmatrix}\)

3. La suite \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  est une chaîne de Markov dont la matrice de transition ne contient pas de zéro, donc d'après le cours il existe une unique distribution invariante  \(P\) .
On peut la déterminer en résolvant le système : 
\(\begin{cases}PT=P\\w+y=1, w\in [0 ; 1], y\in [0 ; 1]\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}0,89w+0,09y=w\\0,11w+0,91y=y\\w+y=1, w\in [0 ; 1], y\in [0 ; 1]\end{cases}\)
On trouve  \(P=\begin{pmatrix}0,45&0,55\end{pmatrix}\) .

4. D'après le cours sur le comportement asymptotique des chaînes de Markov à deux états, la suite \((P_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  converge vers \(P\) , donc à long terme les dirigeants de Webflix ne seront plus leaders du marché, ils garderont seulement 45 % de parts de marché.